【独学QC検定】二項分布のはなし その1=二項分布の式の各項の解説します=

どうもわださんです。
今日から二項分布のお話をしたいと思います。
本日は二項分布の式の各項の意味を説明します。
数式の意味が分かれば覚えるのもすごく楽になるので、ぜひ最後までお付き合いください。

1.二項分布の式

二項分布の確率を求める式は下記になります。

いきなり数式が出てきちゃいましたが、今からこの式を分解して説明します。

2.式を分解して理解する。

この式は下記のように4つの項目に分けることができます。

1⃣.P(r)の意味

まずは、P(r)の意味です。
これは、二項分布の確率を表していて、ある事柄がr回発生する確率になりますを表しており、確率Pがrの、関数であることを表しています。
例えば

<例題>コインを5回投げた時に表が3回出る確率は?

という問題の3回がrに相当しますに相当します。
よって、この例題だとP(3)となります。

2⃣.nCrは組み合わせ

nCrですが、これは高校で習いましたよね?覚えてますか?
これで組み合わせの数が計算できるのでした。
●「n」は、「試行回数」に相当します。
  先ほどの例題でいうと「コインを5回投げた」に相当するので例題だとn=5です。
●「C」は「Combination」の略で「コンビネーション」と読みます。
  組み合わせを表す記号です。
  nCrの読み方は「エヌ コンビネーション アール」でも「エヌ シー アール」と
  そのまま読んでもOKです。
●「r」は先ほどの1⃣と同じで<例題>でいういうところの「表が3回出る」の3回に相当します。
  r=3ですね。

nCrは次の公式で計算されます。

ここで「!」は「階乗(カイジョウ)」と呼ばれるもので
英語だと「ファークトリアル」と呼ばれます。

次に、n!は下記の式で計算されます。

ちなみに0!=1です。

<例題>だと
n! = 5! = 5×4×3×2×1
r!=3!= 3×2×1
(n-r)! = (5-3)! = 2! = 2×1
と計算れるので、
5C3 = 5! ÷ 3! ÷(5-3)! = 10
となり10通りの組み合わせがあることがわかります。

ここまではOKですか?
では、この10通りとは何の組み合わせを意味しているのか?
これは、例えば5回中3回表といっても、
1回目が「表」で2回目が「裏」、3回目以降が「表、表、裏」とう場合もあれば、
1回目から3回目までが「表」で残りが「裏」となる場合もありますよね?
この組み合わせが10通りあるってことを表しています。

3⃣ p は目的の事象が発生する確率

pは1回の試行ごとにある事象が発生する確率を表しています。

<例題>でいうと「コインを1回投げた時に表になる確率」のことであり、p=0.5です。
(コインは表と裏しかなくて、2分の1の確率でどちらかになりますよね)

は「確率pで発生する事象がr回発生するときの確率」ということになります。
<例題>だと0.53となります。

4⃣ (1-p)n-r は目的の事象が発生しない確率

(1-p)はp以外が発生する確率を表しています。  

<例題>でいうと「コインを1回投げた時に表が出ない確率(=裏になる確率)」であり、
(1-p)=(1-0.5)=0.5です。

このあたりは確率の基本的な考え方で、
すべての物事が起こる確率は1(=100%)なので、ある物事が起こらない確率は、
1から起こる確率を引けばよいという考えにもとづきます。

次に(1-p)n-r のn-r乗の意味は、
全部でn回の試行を行うので目的の事象がr回発生するなら、
目的の事象以外が発生するのは(n-r)回ということになります。

<例題>でいうと、
全部で5回の投げて、3回表が出たので、
表が出ない(=裏が出る)のは(n-r)=(5-3)=2回ということを示しています。

よって、 (1-p)n-r というのは、
「目的の事象が発生しない場合が(n-r)回発生する確率」
を表していることになります。

※ 3⃣と4⃣はもう少し説明するとわかりやすいのですが、説明しだすと長くなるので、
  それはまた別の機会で説明しますので、少々お待ちください。

ということで、長くなってきたので、本日のところは、いったんここまでにしたいと思います。
最後まで読んでいただきありがとうございました。

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