【独学QC検定】二項分布のはなし　その１＝二項分布の式の各項の解説します＝

どうもわださんです。
今日から二項分布のお話をしたいと思います。
本日は二項分布の式の各項の意味を説明します。
数式の意味が分かれば覚えるのもすごく楽になるので、ぜひ最後までお付き合いください。

１．二項分布の式

二項分布の確率を求める式は下記になります。

いきなり数式が出てきちゃいましたが、今からこの式を分解して説明します。

２．式を分解して理解する。

この式は下記のように４つの項目に分けることができます。

1⃣．P（ｒ）の意味

まずは、P(r)の意味です。
これは、二項分布の確率を表していて、ある事柄がｒ回発生する確率になりますを表しており、確率Pがrの、関数であることを表しています。
例えば

＜例題＞コインを５回投げた時に表が３回出る確率は？

という問題の３回がｒに相当しますに相当します。
よって、この例題だとP(３)となります。

2⃣．ｎCrは組み合わせ

nCrですが、これは高校で習いましたよね？覚えてますか？
これで組み合わせの数が計算できるのでした。
●「n」は、「試行回数」に相当します。
　　先ほどの例題でいうと「コインを５回投げた」に相当するので例題だとn=5です。
●「C」は「Combination」の略で「コンビネーション」と読みます。
　　組み合わせを表す記号です。
　　nCrの読み方は「エヌ　コンビネーション　アール」でも「エヌ　シー　アール」と
　　そのまま読んでもOKです。
●「ｒ」は先ほどの1⃣と同じで＜例題＞でいういうところの「表が３回出る」の３回に相当します。
　　r=３ですね。

nCrは次の公式で計算されます。

ここで「！」は「階乗（カイジョウ）」と呼ばれるもので
英語だと「ファークトリアル」と呼ばれます。

次に、n!は下記の式で計算されます。

ちなみに0！＝１です。

＜例題＞だと
n! = ５！ ＝ 5×4×3×2×1
ｒ！＝３！＝ 3×2×1
(n-r)! = (５-３)! = ２! = 2×1
と計算れるので、
₅C₃ = ５! ÷ 3! ÷(5-3)! ＝ １０
となり１０通りの組み合わせがあることがわかります。

ここまではOKですか？
では、この１０通りとは何の組み合わせを意味しているのか？
これは、例えば５回中３回表といっても、
１回目が「表」で２回目が「裏」、３回目以降が「表、表、裏」とう場合もあれば、
１回目から３回目までが「表」で残りが「裏」となる場合もありますよね？
この組み合わせが１０通りあるってことを表しています。

3⃣　ｐ^ｒ　は目的の事象が発生する確率

pは１回の試行ごとにある事象が発生する確率を表しています。

＜例題＞でいうと「コインを１回投げた時に表になる確率」のことであり、p=0.5です。
（コインは表と裏しかなくて、２分の１の確率でどちらかになりますよね）

ｐ^ｒ は「確率ｐで発生する事象がｒ回発生するときの確率」ということになります。
＜例題＞だと0.5³となります。

4⃣　(1-p)^n-r　は目的の事象が発生しない確率

(1-p)はｐ以外が発生する確率を表しています。　　

＜例題＞でいうと「コインを１回投げた時に表が出ない確率（＝裏になる確率）」であり、
（1－p）＝（1－0.5）＝0.5です。

このあたりは確率の基本的な考え方で、
すべての物事が起こる確率は１（＝１００％）なので、ある物事が起こらない確率は、
１から起こる確率を引けばよいという考えにもとづきます。

次に(1-p)^n-r のn-r乗の意味は、
全部でｎ回の試行を行うので目的の事象がｒ回発生するなら、
目的の事象以外が発生するのは(n-r)回ということになります。

＜例題＞でいうと、
全部で５回の投げて、３回表が出たので、
表が出ない（＝裏が出る）のは(n-r)=(5-3)=2回ということを示しています。

よって、 (1-p)^n-r というのは、
「目的の事象が発生しない場合が(n-r)回発生する確率」
を表していることになります。

※　3⃣と4⃣はもう少し説明するとわかりやすいのですが、説明しだすと長くなるので、
　　それはまた別の機会で説明しますので、少々お待ちください。

ということで、長くなってきたので、本日のところは、いったんここまでにしたいと思います。
最後まで読んでいただきありがとうございました。