【独学QC検定】二項分布のはなし　その２＝例題から二項分布の式を導出する＝

どうもわださんです。
今日は前回説明した
『【独学QC検定】二項分布のはなし　その１＝二項分布の式の各項の解説します＝』
とは視点を変えて二項分布の式を導出していきたいと思います。
前回と同じ例題を使って、二項分布の確率の式の導出をすることで、
さらに、二項分布のイメージをつかんでもらいたいと思います。
例題は以下の通りです。

＜例題＞コインを５回投げた時に表が３回出る確率は？

では最後までお付き合いいただければ幸いです。

１．「５回中３回表が出る組合せ」を考える。

５回中３回表が出るといいますが、例えば
「表、表、表、裏、裏」
っていうパターンもあれば、
「裏、裏、表、表、表」
っていうパターンも、５回中３回が表ですよね。
という感じで、５回中３回表と言っても色々なパターン（組合せ）があります。
では、実際にすべてのパターンを書き出してみると以下の１０つの組合せになります。

これは前回触れた組合せ
₅C₃ = ５! ÷ 3! ÷(5-3)! ＝１０通り
と一致していますね。

2.　組合せ１が発生する確率を求めてみる。

次にそれぞれの組み合わせにおける発生する確率を求めてみたいと思います。
まずは、１つ目の組合せについてみていきたいと思います。

いま、『表』が出る確率を『ｐ』とします。
この時、コインは『表』と『裏』しかないので、
『裏』が出る確率は『１－ｐ』となりますね。

といことで、組合せ１の確率は下記ののようになって、

すべての確率をかけ合わせれば組合せ１が発生する確率になるので
ｐ　×　ｐ　×　ｐ　×（１－ｐ）　×（１－ｐ）　＝　ｐ^３（１－ｐ）^２

となります。

３．　残りの組合せの発生する確率を計算してみる。

次は組合せ２の確率を確認してみましょう。

組合せ２の確率　＝　ｐ　×　ｐ　×　（１－ｐ）　×　ｐ　×（１－ｐ）　＝　ｃ

ここで、『組合せ１』と『組合せ２』の確率が求まったわけですが、
両方とも、同じ ｐ^３（１－ｐ）^２ となっていることに気づきましたか？

実は残りの８つの組合せについても同様に計算してもらえればわかりますが、
10組の各組合せの発生する確率は、すべて

ｐ^３（１－ｐ）^２

となります。

４．いよいよ「５回中３回表が出る確率」を求める。

では、いよいよフィナーレです。「５回中３回表が出る確率」を求めましょう。
「５回中３回表が出る確率」の組合せは１０組あって、
それぞれの確率が ｐ^３（１－ｐ）^２ で計算できることがわかっています。
「５回中３回表が出る確率」は、１０組すべての確率を足し合わせた合計となります。
よって

P(r)=
p^３（１－ｐ）^２ + p^３（１－ｐ）^２ + p^３（１－ｐ）^２ + p^３（１－ｐ）^２ + p^３（１－ｐ）^２
+ p^３（１－ｐ）^２ + p^３（１－ｐ）^２ + p^３（１－ｐ）^２ + p^３（１－ｐ）^２ + p^３（１－ｐ）^２
=10 p^３（１－ｐ）^２

となります。

５．P(r)=10・p³・(1-p)²　と　P(r)=nCr・p^r・（１－p）^n-r とを比較する。

最後に求めた P(r)=10・p³・(1-p)² と
二項分布の式 P(r)=nCr・p^r・（１－p）^n-r
を比較してみましょう。

まず、最初の「１０」が表しているのは、
「５回中３回表が出るときの組合せの数」であり、
これは、高校数学で学んだ通り「 nCr　」で計算することができます。

「ｐ³」は
「表でる確率がpであるときに、表が３回発生した時の確率」
を表していて、これを一般的に書き直して
「確率pで発生する事象がr回発生した時の確率」と言い換えると
「p^r」と表現できます。

「(1-p)²」は
「表がでる確率がpのとき、反対の裏の出る確率は1-pとなり、
　５回中３回表がでるので、裏は５ー３＝２回でるので、
　２回裏が出る確率は、「（１－ｐ）^２」となり、これを一般的に書き直すと、
「確率ｐで発生する事象の逆の事象の確率は１－ｐとなり、
　ｎ回中ｒ回、確率ｐとなる事象が発生するなら
　逆の事象が発生する回数はn-r回であり、
　n-r回、逆の事象が発生する確率は
　（１－ｐ）^n-rとなります。

よって、今回求めた「５回中３回表が出る確率　 P(r)=10・p³・(1-p)²」は
「２項分布の式　P(r)=nCr・p^r・（１－p）^n-r 」でお求められることがわかりました。